内心训练题19-读者来稿

更新一道结构性的题目

题目标签: 共线类-内心+南北极点+垂直-读者来稿

知识储备: 基本定理

(为了避免影响思路, 知识储备处写的基本定理, 其中基本定理包括: Menelaus, Ceva, Simson线, Pascal, Pappus, Ptolemy, Stewart, 九点圆, 蝴蝶定理, 鸡爪定理等)

题目难度: 高联3-4

解答作者: 华南师大附中-陈文冲

题目如下:

为外接圆圆的直径, , 为的内心, , , 分别为内切圆在三边上的切点, 为在上的投影, 分别与和弧交于点和,

求证: , 分别共线.

---

设以AI为直径的圆与圆O交于点N,

1. , 分别共线.

由相交两圆的性质, ,

故由角分线定理得

, 分别为与的角分线,

结合分别为弧与弧中点, 证毕!

1. 证明三点共线.

注意到

得

故三点共线.

1. 证明QIV三点共线.

设与内切圆交于点, 过作切线与交于, 与外接圆交于点,

则, 注意以为为圆心,

故为与的公切线,

故由蒙日定理共线.

再结合的根心在直线上,

对用定理,

得, , 共点于,

下证三点共线即可.

结合, 在中,

, 故

结合, 故

故三点共线.

---

喜欢做题的小伙伴赶紧关注吧，每天会发布训练效果比较好的题目，

适合准备高联的同学们；

有好的想法交流的可以直接在公众号里留言，我看到后会第一时间回复的~

这么好的公众号别忘了推荐给身边的老师和同学

往期文章回顾

（更多请进入公众号菜单中找合集）